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数学物理方程现代数值方法

李剑白云霄赵昕

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前言
偏微分方程基础知识　1
1.1　基本概念　1
1.2　偏微分方程的分类　2
1.3　多变元微积分　3
1.3.1　Gateaux 导数　3
1.3.2　Prechet 导数　6
1.4　练习　9
参考文献　10
Sobolev空间基本知识　11
2.1　空间*和*　11
2.2　Lp 空间　12
2.2.1　Lp空间的定义　12
2.2.2　Lp空间的性质　13
2.3　广义导数　14
2.3.1　一阶广义导数　14
2.3.2　a阶广义导数　16
2.4　Sobolev 空间　17
2.4.1　一阶 Sobolev 空间*　17
2.4.2　k 阶 Sobolev 空间*　17
2.4.3　 *空间　18
2.4.4　迹算子　19
参考文献　20
Galerkin方法　21
3.1　背景　21
3.2　预备知识　21
3.3　变分问题　23
3.4　离散格式　23
3.5　Galerkin方法的适定性　25
3.5.1　存在唯一性　25
3.5.2　稳定性　25
3.5.3　收敛性　25
3.6　计算实例　27
3.7　练习　29
参考文献　31
有限元方法及其误差估计　32
4.1　背景与简介　32
4.2　拉格朗日插值基函数　33
4.2.1　网格剖分　33
4.2.2　线性有限元空间　34
4.2.3　基函数　34
4.3　泊松问题的有限元方法　40
4.3.1　泊松问题　40
4.3.2　计算流程　40
4.4　误差估计　43
4.4.1　偏微分方程的正则估计　43
4.4.2　H1范数下的误差估计　43
4.4.3　L2范数下的误差估计　46
参考文献　47
泊松问题的其他数值方法　48
5.1　非协调有限元方法　48
5.2　有限体积元方法　52
5.3　练习　55
参考文献　55
6.1　定常Stokes问题　57
6.1.1　方程的变分　57
6.1.2　解的存在唯一性定理　59
6.1.3　稳定性　59
6.1.4　收敛性　60
6.2　Navier-Stokes问题　62
6.2.1　定常Navier-Stokes方程　62
6.2.2　非定常Navier-Stokes方程　63
6.2.3程序实现　65
6.3　Freefem计算程序　66
参考文献　72
修正的特征有限元方法　73
7.1　特征线方法　73
7.2.1　非稳态Navier-Stokes方程　76
7.2.2　特征有限元离散　77
7.3　练习　78
参考文献　79
8.1　预备知识　80
8.2　随机Stokes问题　87
8.3　时间半离散化　89
8.4　全离散的混合有限元方法　90
8.5　练习　91
参考文献　92
索引　93