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数学好的人是如何思考的

永野裕之

扉页
版权信息
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序言学习数学前你需要了解的事
成年人学习初中数学的意义
根本没必要学数学吗
初中数学其实很有用
成年人学习数学的意义
初中数学背后的7个技能
10种思路与7个技能
为什么你学数学的方法不对
算数是结果，数学是过程
为什么乘法运算存在运算顺序问题
算数为生活服务，数学为解决问题服务
数学学习方法摘要
切勿死记硬背
多问“为什么”
重新定义
证明定理和公式
“闻→思→教”三步走
第1章技能1——概念理解
如何理解概念
负数（初中1年级）
在数字中思考“方向”
“0”由“空”变为“平衡”
绝对值
负数的加法运算
小数减大数
负数的减法运算
3个以上正负数的加法运算
为什么（-1）×（-1）＝+1
负数的乘除法运算
质数（初中3年级）
数中有“质”
质数中为什么不包括1
分解质因数
公约数是共有的“零件”
公倍数是“零件”的统合
最大公约数有何能力
平方根（初中3年级）
杀人的数
平方根
根和根号
去掉的方法
数的种类
把无法抓住本质的数作为概念理解
无理数平方根的计算
简单的平方根计算
第2章技能2——看穿事物的本质
看穿本质的要求
字母与公式（初中1年级）
从具体到抽象
“代数”的诞生
代数式的规则
使用字母的目的是将对象“一般化”
不知道一年后的天气，却能知道一年后的月龄
式子的计算（初中2年级）
与次数的邂逅
次数是什么
次数＝因子的数
次的概念
德雷克公式
多项式（初中3年级）
因式分解为什么重要
多项式的计算
分配法则
多项式×多项式
乘法公式
因式分解的方法
为什么要“对最低次的字母进行整理”
因式分解的实践
第3章技能3——合理解题
合理解题的要求
一次方程（初中1年级）
等式的性质
0不可作除数的原因
移项解方程
正确性不在于结论，而在过程
联立方程组（初中2年级）
有未知数，才需要方程
代入法
加减法
二次方程（初中3年级）
最简单的二次方程
完全平方
推导求根公式
二次方程的另一种解法（因式分解法）
“无解”的情况也存在
方程的应用（初中1年级~初中3年级）
找出规律，实现模式化
第4章技能4——抓住因果关系
抓住因果关系的要求
比例与反比例（初中1年级）
比例
y与x成正比
比例的图像
反比例
反比例的图像
只知其一也无妨
映射（超出初中数学范围）和因果关系明朗化的2个例子
函数
密码中使用的单射
一次函数（初中2年级）
比例关系的演变
为什么一次函数的图像为直线
二元一次方程
线性代数（超出初中数学范围）是纵观世界的基本原理
线性规划的应用
y＝ax²（初中3年级）
二次函数的基础
二次函数图像中的道理
二次方程中的无解情况
“非线性”函数也是必需的
微分入门——函数的次数（超出初中数学的范围）
第5章技能5——增加信息
增加信息的要求
几何作图方法（初中1年级）
垂直平分线的作图方法
角平分线
方法中的原理
平行与全等（初中2年级）
平行线的性质
三角形的全等条件
准备清单以便高效率地收集信息
图形的性质（初中2年级）
分类归纳信息
等腰三角形
正三角形
平行四边形
长方形
菱形
正方形
分类方法的应用
圆（初中3年级）
信息量No.1的“完美”图形
相似（初中3年级）
可用比例式的图形
第6章技能6——令人信服
令人信服的要求
假设与结论（初中2年级）
逻辑的基础
芝诺悖论（超出初中数学范围）
PAC思考法（超出初中数学范围）
证明的基础（初中2~3年级）
考试的目的
数学考试是加分制
证明题的书写方法
立体图形（初中2年级）
切勿对所学知识囫囵吞枣
正多面体只有5种的原因
勾股定理（初中3年级）
深奥的“逻辑之森”的入口
毕达哥拉斯定理诞生之时
证明1（欧几里得法）
证明2（爱因斯坦法）
著名的直角三角形
第7章技能7——从局部看整体
从局部看整体的要求
资料的整理（初中1年级）
频数分布表
柱状图与折线图
代表值
追求更好的“代表”（超出初中数学范围）
什么是偏差值（超出初中数学范围）
概率（初中2年级）
人类的直觉不可靠
是同等属性吗
错觉1
错觉2
错觉3
错觉4
抽样调查（初中3年级）
只需一勺就知道整锅汤味道如何的原因
全数调查与抽样调查
正态分布（超出初中数学范围）
推导的基础（超出初中数学范围）
第8章综合问题——如何使用7个技能
技能1——概念理解
技能2——看穿本质
技能3——合理解题
技能4——抓住因果关系
技能5—— 增加信息
技能6——令人信服
技能7——从局部看整体
结束语
“数与式”&“函数”是重点
注重实践
为什么要教数学