经典和量子耗散系统的随机模拟方法

包景东

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前言
随机方法概述 1
1.1 预备知识 1
1.2 蒙特卡罗方法的发展 2
1.3 蒙特卡罗求积分思想 5
1.4 蒙特卡罗方法的特点 8
1.5 计算的若干细节 9
1.6 小结 10
由已知分布随机抽样 12
2.1 基本特性 12
2.2 直接抽样方法 13
2.3 舍选抽样方法 16
2.3.1 简单分布的舍选法 16
2.3.2 乘分布的舍选法 18
2.4 复合抽样方法 21
2.4.1 加分布 21
2.4.2 随机变量的合成 23
2.4.3 复合抽样方法的一般形式 23
2.5 变换抽样方法 25
2.6 近似抽样方法 31
2.7 随机向量的抽样方法 33
2.8 注释 39
降方差技巧 44
3.1 降低实验方差的特性 44
3.2 重要抽样技巧 44
3.3 期望估计技巧 50
3.4 相关技巧 53
3.5 分层抽样技巧 55
3.6 分裂与赌技巧 57
3.7 评注 58
米特罗波利斯抽样和动力学方法 60
4.1 马尔可夫过程 60
4.2 正则系综平均量的计算 61
4.3 米特罗波利斯抽样方法 63
4.4 热浴法 65
4.5 广义米特罗波利斯抽样方法 69
4.6 动力学方法产生平衡态与已知分布 70
4.6.1 平衡态分布 70
4.6.2 应用算例 70
4.6.3 已知分布 71
4.6.4 动力学重要抽样求定积分 71
4.7 评注 77
噪声与涨落耗散 79
5.1 概述 79
5.2 噪声与布朗运动 80
5.3 系统加热浴模型 81
5.3.1 广义朗之万方程 82
5.3.2 涨落耗散定理 83
5.3.3 谱函数 84
5.4 噪声的功率谱 85
5.4.1 色噪声 86
5.4.2 噪声的带宽 86
5.5 简谐噪声和简谐速度噪声 88
5.6 简谐噪声 89
5.6.1 简谐噪声的关联函数 89
5.6.2 极限情况分析 90
5.6.3 简谐噪声的频谱关系 91
5.6.4 简谐噪声的频域带宽 92
5.7 简谐速度噪声 94
5.7.1 简谐速度噪声的关联函数 94
5.7.2 极限情况和频谱关系 95
5.7.3 简谐速度噪声的频域带宽 96
5.8 福克-普朗克方程 96
5.8.1 福克-普朗克方程的推导 96
5.8.2 伊藤特拉托诺维奇困境的讨论 98
5.9 小结 100
朗之万方程的数值模拟及其策略 102
6.1 分子动力学与布朗动力学的比较 103
6.2 欧拉方法 103
6.3 随机泰勒展开 105
6.3.1 乘性噪声 107
6.3.2 一般阻尼情况 108
6.3.3 奥恩斯坦-乌伦贝克噪声 109
6.4 随机龙格-库塔算法 113
6.5 随机积分方法 116
6.5.1 非线性力展开的积分算法 116
6.5.2 应用算例：倾斜周期势中的定向流 118
6.6 广义朗之万方程的积分算法 119
6.7 拟局部振荡算法 122
6.7.1 模型和算法 122
6.7.2 应用算例 126
6.7.3 小结 128
6.8 乘性白噪声驱动的周期运动 128
6.9 半隐式算法 132
6.10 阻尼积分算法 133
6.11 评注 135
主方程的蒙特卡罗模拟 138
7.1 主方程及其差分解 138
7.3 主方程的直接蒙特卡罗模拟 143
7.4 主方程与朗之万方程的关系 144
7.5 实例 145
反常扩散的数值模拟方法 147
8.1 离散傅里叶变换产生任意色噪声 147
8.1.1 时间关联噪声的模拟 147
8.1.2 二维空间关联噪声的模拟 149
8.2 非欧姆阻尼 151
8.4 粒子在非欧姆阻尼环境中的扩散 154
8.5 连续时间无规行走 156
8.5.1 CTRW模型及其数值实现 157
8.5.2 有势情况下的CTRW 159
8.5.3 小结 165
相变模型的随机模拟 166
9.1 伊辛模型 166
9.1.1 伊辛模型 166
9.1.2 主要物理量和方法 167
9.1.3 米特罗波利斯方法 168
9.1.4 弛豫效应 168
9.1.5 周期边界条件 169
9.1.6 有限尺度效应 169
9.1.7 *近邻相互作用 170
9.2 伊辛模型的蒙特卡罗模拟 171
9.3 二元合金系统 172
9.4 XY模型 173
路径积分的基本特性 175
10.1 传播子 175
10.1.1 定义和性质 175
10.1.2 薛定谔方程的路径积分表示 177
10.2 有限维位形空间中的路径积分 179
10.2.2 K(x，tf;x0，t0）的路径积分公式 181
10.3 路径积分的优缺点 182
传播子精确可解的例子 184
11.1 一维自由运动 184
11.2—维谐振子的传播子 186
11.2.1 借助经典路径求传播子 186
11.2.2 直接计算N-1维路径积分求传播子 188
11.2.3 与量子力学结果的比较 191
11.3 强迫谐振子的传播子 193
密度矩阵和影响泛函 196
12.1 系统环境相互作用模型 196
12.2 实时间路径积分 199
12.2.1 欧几里得泛函积分 199
12.2.2 用跃迁矩阵元求影响泛函 202
12.2.3 应用算例：鞍点通过概率 205
量子耗散系统 209
13.1 虚时间和傅里叶级数 209
13.2 傅里叶空间的泛函测量 210
13.3 量子耗散系统 213
变分路径积分 217
14.1 半经典近似 217
14.2 有效经典势和配分函数 218
14.2.1 思路 218
14.2.2 谐振子的有效经典势 218
14.3 变分路径积分 219
14.3.1 费恩曼-克莱勒特有效经典势 220
14.3.2 应用算例 225
14.4 非线性耗散系统的有效经典势 226
14.4.1 双变分 226
14.4.2 应用算例 229
14.5 评注 229
量子蒙特卡罗方法 232
15.1 变分蒙特卡罗方法 232
15.1.1 量子多体系统的*低能量 232
15.1.3 偏倚抽样法求极小能量 234
15.1.4 应用算例 235
15.1.5 扩散方程、格林函数和朗之万方程 237
15.3 格林函数蒙特卡罗方法 241
15.3.1 薛定谔方程的积分形式 242
15.3.2 无规行走法求格林函数 243
15.4 扩散蒙特卡罗方法 246
15.5 路径积分蒙特卡罗方法 247
15.5.1 轨道递推方法 247
15.5.2 快速傅里叶变换方法 252
15.6 非线性量子耗散系统 254
15.6.1 重要高斯测量 255
15.6.2 有效耗散经典势 256
15.6.3 应用算例 258
15.7 量子亚稳系统的衰变速率 260
15.7.1 路径积分蒙特卡罗方法 261
15.7.2 结果和讨论 265
参考文献 268
索引 276
中英文人名对照表 281