数值分析与计算方法（第二版）

雷金贵李建良蒋勇

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第二版前言
第一版前言
绪论 1
1.1 计算机数值方法概述 1
1.1.1 数值计算方法的概念与任务 1
1.1.2 数值计算问题的解题过程与步骤 3
1.1.3 本课程的内容与数值算法的特点 4
1.2 误差、有效数字与机器数系 6
1.2.1 误差的概念与来源 6
1.2.2 有效数字与机器数系 7
1.2.3 舍入误差的产生 11
1.3 误差传播与防范 12
1.3.1 误差的传播 13
1.3.2 防止“大数吃小数” 14
1.3.3 避免绝对值相近的数作减法 15
1.3.4 避免0或接近0的数作除数 16
1.3.5 避免绝对值很大的数作乘数 16
1.3.6 简化计算公式，减少计算量 17
1.3.7 设计稳定的算法 17
1.3.8 精度丢失定理 19
习题1 20
插值法 22
2.1 插值问题 22
2.1.1 基本概念 22
2.1.2 插值多项式的存在唯一性 22
2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 23
2.2.1 Lagrange插值多项式 23
2.2.2 插值余项 25
2.3 差商与牛顿(Newton)插值 28
2.3.1 差商的定义和性质 28
2.3.2 Newton插值公式 30
2.4 差分与等距节点插值 33
2.4.1 差分及其性质 33
2.4.2 等距节点插值公式 34
2.5 埃尔米特(Hermite)插值 36
2.6 三次样条插值 40
2.6.1 多项式插值的缺陷与分段插值 40
2.6.2 三次样条插值函数 41
2.6.3 三次样条插值函数的构造方法 42
2.6.4 两点说明 48
习题2 49
线性方程组的直接解法 52
3.1 引言 52
3.2 Gauss消元法 53
3.2.1 三角形方程组的解法 53
3.2.2 预备知识 54
3.2.3 Gauss消元法 55
3.2.4 Gauss消元法的计算量 58
3.2.5 Gauss消元法的条件 59
3.2.6 列主元消元法 61
3.2.7 全主元消元法 63
3.3 Gauss-Jordan消元法与矩阵求逆 64
3.3.1 Gauss-Jordan消元法 64
3.3.2 用Gauss-Jordan消元法求逆矩阵 67
3.4 矩阵分解 69
3.4.1 Gauss消元法的矩阵解释 69
3.4.2 Doolittle分解 71
3.4.3 方程组的求解举例 75
3.4.4 正定阵的Doolittle分解 77
3.4.5 Cholesky分解与平方根法 79
3.4.6 LDLT分解与改进的平方根法 82
3.4.7 带列主元的三角分解 83
3.5 追赶法 89
3.6 向量范数 93
3.6.1 向量范数定义 93
3.6.2 向量范数等价性与一致连续性 95
3.7 矩阵范数 98
3.7.1 方阵的范数 98
3.7.2 m×n阶矩阵的范数 105
3.8 条件数与方程组的误差分析 106
3.8.1 病态方程组与条件数 106
3.8.2 方程组的摄动分析 109
3.8.3 Gauss消元法的浮点误差分析 112
3.8.4 方程组的病态检测与改善 114
习题3 117
方程求根 120
4.1 方程根的存在、唯一性与有根区间 120
4.1.1 方程根的存在与唯一性 121
4.1.2 有根区间的确定方法 121
4.2 二分法 123
4.3 Picard迭代法与收敛性 126
4.3.1 Picard迭代格式的收敛性 128
4.3.2 Picard迭代法敛散性的几何解释 130
4.3.3 Picard迭代法的局部收敛性和误差估计 132
4.3.4 Picard迭代的收敛速度与渐近误差估计 135
4.4 Newton-Raphson迭代法 137
4.4.1 Newton-Raphson迭代法的构造 137
4.4.2 Newton法的大范围收敛性 138
4.4.3 Newton法的局部收敛性 141
4.4.4 Newton法的改进 142
4.4.5 求非线性方程组的Newton法 143
4.5 割线法 144
4.6 代数方程求根 146
4.6.1 秦九韶算法 147
4.6.2 秦九韶算法在导数求值中的应用 148
4.6.3 代数方程的Newton法 149
4.6.4 劈因子法 150
4.7 加速方法 154
4.7.1 Aitken加速法 154
4.7.2 Steffensen迭代法 155
4.7.3 其他加速技巧 156
习题4 157
线性方程组的迭代解法 159
5.1 迭代法的构造 159
5.1.1 Jacobi迭代法的构造 160
5.1.2 Gauss-Seidel迭代法的构造 162
5.2 迭代法的收敛性 165
5.2.1 一阶定常迭代法的收敛性 166
5.2.3 迭代法的收敛速度 176
5.3 逐次超松弛迭代法(SOR方法) 176
5.3.1 SOR迭代的构造 177
5.3.2 SOR方法的收敛性 178
5.3.3 相容次序与最佳松弛因子的选择 181
习题5 183
近似理论 185
6.1 矩阵的广义逆 185
6.1.1 Moore-Penrose广义逆 185
6.1.2 广义逆的性质 188
6.2 方程组的最小二乘解 190
6.2.1 方程组的最小二乘解 190
6.2.2 方程组的极小最小二乘解 193
6.3 矩阵的正交分解与方程组的最小二乘解 195
6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法 195
6.3.3 Householder变换 201
6.3.4 Householder变换在矩阵正交分解中的应用 203
6.4 矩阵的奇异值分解 208
6.5 数据拟合 214
6.6 正交多项式 218
6.6.1 正交多项式的概念与性质 218
6.6.2 Chebyshev多项式 220
6.6.3 Chebyshev正交多项式的应用 223
6.6.4 其他正交多项式 230
6.7 线性最小二乘问题 230
6.8 正交多项式在数据拟合中的应用 235
6.9 函数逼近 238
6.9.1 最佳平方逼近 240
6.9.2 最佳一致逼近 245
习题6 248
数值积分与数值微分 251
7.1 插值型数值积分公式 251
7.1.1 中矩形公式和梯形公式 251
7.1.2 插值型求积公式 253
7.1.3 求积公式的代数精确度 254
7.2 Newton-Cotes(牛顿-科茨)型求积公式 256
7.2.1 Newton-Cotes型求积公式的导出 256
7.2.2 几种低阶求积公式的余项 260
7.3 复化求积法 261
7.4 龙贝格(Romberg)算法 264
7.4.1 区间逐次二分法 264
7.4.2 复化求积公式的阶 266
7.4.3 Romberg算法 266
7.5 Gauss(高斯)型求积公式 270
7.5.1 基本概念 270
7.5.2 Gauss点 271
7.5.3 Gauss-Legendre(高斯-勒让德)公式 272
7.5.4 稳定性和收敛性 274
7.5.5 带权 Gauss公式 275
7.6 数值微分 277
7.6.1 插值型求导公式 277
7.6.2 三次样条插值求导 280
习题7 281
常微分方程数值解法 283
8.1 常微分方程初值问题 283
8.1.2 常微分方程的离散化 285
8.1.3 基本概念 286
8.1.4 Euler 显式格式的几何解释 287
8.1.5 误差与差分格式的阶 288
8.2 Runge-Kutta(龙格-库塔)法 291
8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想 291
8.2.2 四级四阶Runge-Kutta法 293
8.2.3 步长的选取 294
8.3 单步法的收敛性和稳定性 296
8.3.1 收敛性的概念 296
8.3.2 Euler显式格式的收敛性 297
8.3.3 一般单步法的收敛性 299
8.3.4 单步法的稳定性 302
8.4 线性多步法 304
8.4.1 Adams外推法 305
8.4.2 Adams内插法 307
8.4.3 Adams预报-校正格式 308
8.5 常微分方程组与边值问题的数值解法 309
8.5.1 一阶方程组 309
8.5.2 高阶方程的初值问题 310
8.5.3 边值问题的差分解法 310
习题8 312
矩阵特征值与特征向量的幂法计算 314
9.1 幂法 314
9.1.1 幂法 314
9.1.2 规范化幂法 319
9.2 幂法的加速与反幂法 321
9.2.1 原点平移法 321？
9.2.2 Rayleigh商加速法 323
9.2.3 反幂法 324
9.3 实对称矩阵的Jacobi(雅可比)方法 326
9.3.1 预备知识 326
9.3.3 实对称矩阵的Jacobi方法 328
9.3.4 Jacobi方法的收敛性 330
9.3.5 Jacobi过关法 331
9.4 QR方法 332
9.4.1 基本的QR方法 332
9.4.2 带原点平移的QR方法 337
习题9 338
线性规划 340
10.1 线性规划问题与其对偶问题 340
10.1.1 线性规划模型 340
10.1.2 对偶 345
10.2 线性规划的基本定理 347
10.2.1 LP问题可行域 347
10.2.2 LP问题的解 349
10.2.3