分数阶微积分学与分数阶控制

薛定宇

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前言 i
分数阶微积分学简介 1
1.1 分数阶微积分学的历史回顾 1
1.2 自然世界中的分数阶现象与模型举例 3
1.3 分数阶微积分与分数阶控制工具简介 4
1.4 本书的结构 5
1.4.1 本书的主要内容与要点 5
1.4.2 阅读本书的建议 7
常用特殊函数的定义与计算 9
2.1 误差函数与补误差函数 9
2.2 Gamma函数 10
2.3 Beta函数 14
2.4 Dawson 函数 16
2.5 超几何函数 18
2.6 Mittag-Leffler函数 20
2.6.1 单参数Mittag-Leffler函数 20
2.6.2 双参数Mittag-Leffler函数 23
2.6.3 多参数Mittag-Leffler函数 26
2.6.4 Mittag-Leffler函数的导数 27
2.6.5 Mittag-Leffler函数及其导数的数值运算 29
分数阶微积分的定义与计算 31
3.1 分数阶Cauchy 积分公式 32
3.1.1 Cauchy 积分 32
3.1.2 常用函数的分数阶微分与积分公式 32
3.2 Grünwald-Letnikov 分数阶微积分定义与计算 33
3.2.1 高阶导数的推导 33
3.2.2 Grünwald-Letnikov 分数阶微分的定义 33
3.2.4 Podlubny 的矩阵算法 39
3.2.5 短时记忆效应及其探讨 40
3.3 Riemann-Liouville分数阶微积分定义与计算 44
3.3.1 高阶整数阶积分公式 44
3.3.2 Riemann-Liouville分数阶微积分定义 44
3.3.3 常用函数的Riemann-Liouville微积分公式 45
3.3.4 初始时刻平移的性质 46
3.3.5 Riemann-Liouville定义的数值计算 47
3.4 分数阶微积分的高精度算法与实现 48
3.4.1 任意阶次的生成函数构造 48
3.4.2 基于FFT的算法 51
3.4.3 系数计算的递推公式 53
3.4.4 初始时刻更好的拟合处理 57
3.4.5 再论矩阵算法 61
3.5 Caputo分数阶微积分定义 62
3.6 各种不同分数阶微积分定义之间的关系 63
3.6.2 Caputo与Riemann-Liouville定义的关系 64
3.6.3 Caputo分数阶微分的数值计算 64
3.6.4 Caputo微分的高精度算法 66
3.7 分数阶微积分的性质与几何解释 68
3.7.1 分数阶微积分的性质 68
3.7.2 分数阶积分的几何解释 70
线性分数阶微分方程的求解 73
4.1 线性分数阶微分方程简介 73
4.1.1 线性分数阶微分方程的一般形式 73
4.1.2 不同定义下的分数阶导数初值问题 74
4.1.3 一个重要的Laplace变换公式 75
4.2 一些线性分数阶微分方程的解析解方法 76
4.2.1 单项分数阶微分方程 76
4.2.2 双项分数阶微分方程 76
4.2.3 3项分数阶微分方程 77
4.2.4 一般n 项分数阶微分方程 78
4.3 同元次微分方程的求解 78
4.3.1 同元次微分方程的一般形式 79
4.3.3 同元次微分方程的解析解 81
4.4.1 闭式解算法 84
4.4.2 基于矩阵的求解算法 88
4.4.3 高精度闭式解算法 90
4.5 非零初值线性Caputo微分方程的数值解法 91
4.5.1 Caputo微分方程的数学描述 91
4.5.2 Taylor 辅助函数算法 92
4.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 94
4.6 无理分数阶微分方程的数值解法 100
4.6.1 无理分数阶传递函数描述 100
4.6.2 基于数值Laplace反变换的仿真方法 100
4.6.3 闭环无理系统的时域响应计算 102
4.6.4 无理分数阶系统的稳定性判定 103
4.6.5 数值Laplace变换 106
分数阶微积分算子与系统的近似 108
5.1 基于连分式的几种近似方法 109
5.1.1 连分式近似 109
5.1.2 Carlson近似 111
5.1.3 Matsuda-Fujii 近似 114
5.2 Oustaloup滤波器近似 115
5.2.1 常规的Oustaloup近似 115
5.2.2 一种改进的Oustaloup滤波器 120
5.3 分数阶传递函数的整数阶近似 123
5.3.1 分数阶传递函数的高阶近似 123
5.3.2 基于模型降阶技术的低阶近似方法 125
5.4 无理分数阶模型的近似 129
5.4.1 频域响应近似方法 130
5.4.2 Charef近似 132
5.4.3 复杂无理模型的最优Charef滤波器设计 135
6.1 创建MATLAB的对象——FOTF类编程 143
6.1.1 定义一个FOTF类 143
6.1.2 显示函数的编程 145
6.1.3 多变量FOTF 矩阵的输入 146
6.2 FOTF 模块的相互连接 147
6.2.1 Kronecker积与Kronecker和 147
6.2.2 FOTF 对象的串联连接 147
6.2.3 FOTF 对象的并联连接 149
6.2.4 反馈连接函数 150
6.2.5 其他支持函数的编程 152
6.2.6 FOTF 对象与同元次模型的相互转换 154
6.3 线性分数阶系统的性质分析 155
6.3.1 稳定性分析 156
6.3.2 部分分式展开与稳定性判定 158
6.3.3 分数阶系统的范数计算 159
6.4 线性分数阶系统的频域响应分析 161
6.4.1 单变量系统的频域响应分析 161
6.4.2 基于Nyquist图的稳定性判定 162
6.4.3 多变量系统的对角占优分析 163
6.4.4 复杂系统结构下的频域响应计算 166
6.4.5 多变量系统的奇异值曲线 168
6.5 线性分数阶系统的时域分析 170
6.5.1 阶跃响应与脉冲响应 170
6.5.2 分数阶系统任意输入的响应 173
6.6 同元次系统的根轨迹分析 175
7.1 分数阶系统的状态方程描述 178
7.2 分数阶系统的状态方程模型 179
7.2.1 FOSS 类定义与编程 179
7.2.2 FOSS 与FOTF 对象的转换 180
7.2.3 不同基阶的状态增广变换 182
7.2.4 FOSS 模块的相互连接 184
7.3 分数阶状态方程模型的性质分析 187
7.3.1 稳定性判定 187
7.3.2 状态转移矩阵 188
7.3.3 可控性与可观测性 190
7.3.4 可控性与可观测性的阶梯标准型 191
7.3.5 范数计算 192
7.4 分数阶状态方程模型的分析 192
7.5 分数阶扩展状态方程模型 193
7.5.1 线性分数阶扩展状态方程模型 193
7.5.2 非线性分数阶扩展状态方程模型 195
非线性分数阶微分方程的数值求解 197
8.1 非线性Caputo微分方程的数值解算法 197
8.1.1 单项方程的数值解方法 198
8.1.2 多项Caputo微分方程的求解 202
8.1.3 分数阶扩展状态方程的数值求解 205
8.1.4 基于代数方程求解的微分方程算法 209
8.2 Caputo微分方程的高效高精度算法 210
8.2.1 预估方程 211
8.2.2 校正求解方法 213
8.2.3 隐式Caputo微分方程的高精度矩阵算法 215
8.3.1 FOTF 模块集的设计 217
8.3.2 FOTF 矩阵模块的实现 221
8.3.3 控制问题的Simulink 求解 223
8.3.4 Simulink 仿真结果的验证 226
8.4 零初值分数阶微分方程的框图解法 226
8.5 非零初值Caputo微分方程的框图解法 231
8.5.1 Caputo算子模块设计 232
8.5.2 Caputo微分方程的典型建模步骤 233
8.5.3 Caputo微分方程的更简单建模仿真方法 235
8.5.4 分数阶状态方程的Simulink 建模 238
8.5.5 隐式分数阶微分方程的数值解法 240
分数阶PID控制器设计 243
9.1 分数阶PID控制器概述 243
9.2 最优整数阶PID控制器的设计 245
9.2.1 FOPDT 对象的整定规则 245
9.2.2 伺服控制有意义的性能指标 247
9.2.3 OptimPID——最优PID控制器设计界面 249
9.3.1 基于频域响应的设计方法一般描述 251
9.3.2 FOPDT 受控对象的PIλDμ控制器设计 252
9.3.3 FOIDPT 对象的控制器设计 256
9.3.5 PIDμ控制器的设计 258
9.3.6 FO-[PD] 控制器设计 259
9.3.7 鲁棒控制器设计的其他考虑 259
9.4.1 最优PIλDμ 控制器设计方法 260
9.5 模糊分数阶PID控制器的设计与仿真 268
9.5.1 控制器参数的模糊规则 268
9.5.2 模糊分数阶PID控制器的Simulink 实现 268 <